Подготовительная фаза решения задачи.
Пронумеруем все монеты от 1 до 12. Решаем использовать некоторые монеты как эталонные. Также учтем, что мы можем попытаться определить, тяжелее фальшивая монета или легче.
Само решение.
1а) Взвешиваем две четверки. Предполагаем, что монеты 1,2,3,4 тяжелее монет 5,6,7,8. Если монеты 1,2,3,4 легче монет 5,6,7,8 ход рассуждений аналогичный.
2а) В левой чаще весов оставляем монеты 1,2,3 и добавляем 5 из другой чаши. А монету 4 кладем на вторую чашу. Также туда помещаем монеты 9,10,11.
Допустим, монеты 1,2,3,5 тяжелее монет 4,9,10,11. Какие выводы? Так как первая чаша осталась тяжелее, монеты 4 и 5 - нормальные. Потому что если бы одна из них была фальшивая, сменился бы знак весов. Итак, монеты 4,5,9,10,11 - нормальные. Значит, фальшивая в 1,2,3. Более того, теперь мы понимаем, что фальшивая тяжелее нормальных. Потому что левая чаша весов перевешивает и там фальшивая монета, а в правой чаше (монеты 4,9,10,11) - все нормальные.
3а) Берем любые две монеты из 1,2,3 и взвешиваем. Если они равны, фальшивая третья, если неравны - фальшивая та, которая перевесила.
2б) Допустим, монеты 1,2,3,5 легче монет 4,9,10,11. Знак весов поменялся. Значит, фальшивая монета переехала на другую чашу.
1-ю,2-.ю,3-ю мы не трогали. Монеты 9,10,11 - нормальные. Выходит фальшивая либо 4-я, либо 5-я.
3б) Берем любую из них и сравниваем с эталонной, к примеру к 12-й.
2в) Третий вариант. Монеты 1,2,3,5 стали равны по весу монетам 4,9,10,11. Получается, что среди них нет фальшивых монет. Они в тройке, которую мы поменяли в правой чаше весов на монеты 9,10,11, то есть в тройке 6,7,8.
3в) Так как левая чаша весов была тяжелее, а теперь весы выровнялись, значит, фальшивая монета легче нормальной. Теперь берем любые две монеты из тройки 6,7,8 и сравниваем между собой. К примеру, монеты 6 и 7. Какая легче, та и фальшивая. Если они одинаковы по весу, фальшивая третья.
1г) Если монеты 1,2,3,4 равны по весу монетам 5,6,7,8, то получается, что фальшивая монета в четверке 9,10,11,12.
2г) Берем монеты 9,10 и сравниваем с эталонными 1 и 2.
3г) Если монеты 9,10 равны 1 и 2, значит фальшивая монета в 11,12. Тогда берем любую из 11,12 и сравниваем с эталонной 1. Если вес 9,10 не равен 1,2, тогда фальшивая в этой паре. Берем любую из 9,10 и сравниваем с эталонной 1.